很多人說：「主動型基金的平均績效敗給指數，表示市場非常有效率，就算投資專家懂那麼多財經知識，還有龐大的研究團隊幫助他即時掌握市場消息，也沒有辦法獲得超額報酬，也就是說，主動投資根本不可能成功。」
真的是這樣嗎？或許主動型基金平均績效敗給指數的原因，根本無關於效率市場，只是統計學的特性而已。
統計學裡有所謂的「中央極限定理」(Central Limited Theory)，指的是不管母體的機率分配是何種型態，從母體中抽取 N 個樣本所計算出來的平均數與標準差，在樣本數量夠多的情況下，會趨近於常態分配。換句話說，不管母體的機率分配是何種型態，只要抽取的樣本數夠多，樣本平均數就會趨近於母體平均數。
這代表什麼意思呢？首先我們把整體市場當作母體，超越大盤與敗給大盤的機率就是母體的機率分配，主動型基金市場組成的一部份，當然可以視為樣本。因為市場上包含數以千百計的主動型基金 (相當充足的樣本數)，所以主動型基金的平均報酬 (樣本平均數) 自然會符合「中央極限定理」的特性，趨近於市場報酬 (母體平均數)。
或許有人會質疑，中央極限定理的假設是隨機抽樣，選擇以共同基金為研究範圍不符合隨機抽樣的原則。但是，市場上的專業投資人並非只有共同基金，保險公司、退休基金、證券自營商也都具備相當優秀的研究能力，而這些法人機構的資金佔了市場上的絕大部份，因此以共同基金為研究範圍雖然不完全符合隨機抽樣，卻也非常接近。
既然如此，為什麼主動型基金的平均績效還會敗給大盤呢？原因是主動型基金的績效為投資報酬扣除管理費用，當樣本平均數 (X) 幾乎等於母體平均數 (Y) 時，樣本平均數扣除常數 (X – K) 自然會小於母體平均數 (Y)。
回到效率市場假說的概念。當初法國數學家巴奇利耶提出隨機漫步理論的原始概念時，就是假設市場報酬為常態分配，後來該理論逐漸發展成效率市場假說。但是根據中央極限定理，就算母體的機率分配不是常態分配 (意即不符合隨機漫步的條件)，只要樣本數夠多，樣本平均數還是會趨近於母體平均數，扣除常數後就會小於母體平均數。
換句話說，主動型基金的平均績效敗給指數，或許不能以效率市場解釋，而是中央極限定理在作祟。
同樣的概念也可以套用於低費用基金的平均績效勝過高費用基金上，因為低費用基金與高費用基金的數量都足以滿足中央極限定理的條件，意即兩者在扣除費用前的平均報酬都會趨近於市場報酬，故費用高低就是制勝的關鍵。
我想文章第一段的那句話應該改成 ── 主動型基金的平均績效敗給指數，表示在高費用的包袱下，敗給指數的主動型基金比超越指數的更多。雖然有些基金能持續超越大盤，可惜我們無法未卜先知到底是哪一檔。
比主動型基金超越大盤更困難的事，就是在主動型基金交出成績單之前，運用有系統的方法提早找到它。
